RAICES DE UN POLINOMIO

RAICES DE UN POLINOMIO

 

 

Las raíces de un polinomio son números tales que hacen que un polinomio valga cero. Podemos decir  también que las raíces enteras de un polinomio de coeficientes enteros serán divisores del término independiente. Cuando resolvemos un polinomio igualándolo a cero obtenemos como soluciones las raíces del polinomio. Como propiedades de las raíces y factores de los polinomios podemos decir que los ceros o raíces de un polinomio son por los divisores del término independiente pertenecientes al polinomio. Entonces a cada raíz por ejemplo del tipo x = a le correspondería un binomio del tipo (x-a). Se puede expresar un polinomio en factores si lo escribimos como producto de todos los binomios que tengamos del tipo (x-a) que sean correspondientes a las raíces, x=a, que obtengamos.

 

 

 TAN SENCILLO COMO LO EXPICA LA SIGUIENTE IMAGEN: 

Al termino independiente se le han de buscar posibles divisores que como resultado final de cero (0) y estos pasaran a ser raíces de termino independiente








    A continuación un video Explicando paso a paso como encontrar la raíz de un polinomio

CASOS PARTICULARES DE LA REGLA DE RUFFINI

 

 

 

 

   CASOS PARTICULARES DE LA REGLA DE RUFFINI

 

 Retomando nuevamente la regla de ruffini para hacer la división entre polinomios, usamos solamente los coeficientes del dividendo y el término independiente del divisor. El divisor debe ser un polinomio de grado 1con coeficiente principal igual a 1 y con término independiente distinto de cero, por ejemplo: (x + 3), (x - 2/3), (x + 1), etc. Se obtienen los coeficientes del cociente (resultado) de la división, y el resto.

Para aplicar correctamente la regla se deben usar los coeficientes del dividendo completo y ordenado de mayor a menor grado  Y al término independiente del divisor se le debe cambiar el signo (se usa el opuesto).

Pero ahora veremos 2 casos adicionales, particulares de la regla de Ruffini.

 

 

CASO 1: Cuando el divisor es de la forma (AX+B), en otras palabras que la incógnita este acompañada

 

 

M(x)= X3 +2X-4  %  N(x) = 2X + 2

 

Como el divisor no esta de la forma (x + a) procedemos a dividir, tanto el divisor como el dividendo por el numero que acompaña a la incógnita en este caso el 2

 Para resolver este polinomio quedaría Así:

 

M(x) = X3 + 2X -4  % N(x)= 2X +2

       ----   ----  ---                  ---       ---

        2       2    2                      2       2

 

Ahora completamos

 

M(x) = X3 + 0X2 + 2X    -4  % N(x) = 2X +2

            ----      ----    ---                         ---   --

             2         2      2                             2    2 

 

y resolvemos...

 

 

M(x) = 1       0      1     -2   % N(x) = X + 1

         ----                                         

           2                                          

 

Y continuamos. Recordando que el 1 positivo pasa negativo a dividir

                1        0        1       -2

               ----                                         

                2                                          

-1                     -1      1        -3
                        ---    ---       ---
           _______2___2_____2______
              1       -1          3         -7
             ---     ---      ---         ---
              2       2        2           2

 Ahora queda asi:   C(x) = X2      -X     +  3
                                         ---       ----     ---
                                           2         2        2        FACIIIIIIIL :)










Ahh y por ultimo el resto se multiplicara por el valor que acompañaba a la incógnita el 2

-7                     -14
---      x   2 =    ---
2                       2           y listo!


 EJERCICIO PARA PRACTICAR

 Y(x) = 4X4 -2X -3X2 -1    %   E(x) = 2X + 1

CASO 2: Cuando el divisor es de grado mayor que 1, es decir, el exponente. y que los exponentes de la variable del dividendo sean múltiplos del exponente de la variable del divisor


3X12 - 10X6 +7X3 +6   % X3 + 2

Hemos de buscar un numero que multiplicado por 3 (valor de la incógnita) nos de el resultado del exponente del primer polinomio, quedaría así:

3(x3)4   -  10(x3)2  +7(x3)  +6     %  X3  +2  al multiplicar exponente con exponente seria el mismo resultado del primer polinomio

Ahora sustituimos la incógnita con la letra Y, es decir que X3=Y y usaremos el exponente fuera del paréntesis

3Y4   - 10Y2  +7Y   +6   % Y + 2 

Completamos

       
3Y4    +0Y3     - 10Y2  +7Y   +6  

Y resolvemos...

           3      0      -10     7     6
-2               -6     12     -4    -6
          ___________________
          3    -6       2       3     0 


C(y) = 3Y3  -6Y2  +2Y  +3

Luego de esto, volvemos a sustituir la incógnita con la letra X3, es decir que Y=X3 de nuevo.


C(x3) = 3(x3)3  -6(x3)2  +2(x3)  +3

resolvemos y quedaría así:

C(x) = 3x9    -6x6    +2x3    +3    Y listo



EJERCICIOS PARA PRACTICAR

 3X8  -4X6  +5X4  -X2  +1  %  X2 +3

ABRE TU MENTE A LAS MATEMATICAS Y TE DARAS CUENTA QUE ES FACIL

DIVISION DE POLINOMIOS (REGLA DE RUFFINI)

 

 

 

Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableción un método más breve para hacer la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x — a.

 

 

 

 

 

Regla de Ruffini

Cuando tratamos de dividir un polinomio P(X) entre un polinomio     Q(x), siendo este un binomio de tipo (x - a) se puede utilizar la regla de ruffini

 

   Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división:

 

(x⁴ − 3x² + 2 ) : (x − 3)

1 Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

 

 

ejemplo: (x⁴ − 3x² + 2 ) : (x − 3)

            (x⁴ + 0x3 - 3x² + 0x + 2)  : (x - 3)
 

2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

ejemplo:  1  0  -3  0  2

3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor.

ejemplo: -3 como esta negativo, pasa positivo 3.

  

4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

                1      0     -3    0    2
            
  3          __________________
               1

5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

 

   

               1      0     -3    0    2

                           3

      3     __________________
             1    

 

     

6Sumamos los dos coeficientes.

                1      0     -3    0    2
                       3
        3    __________________
               1       3 

7Repetimos el proceso anterior.8signos negativos se restan y se mantiene el signo del numero mayor

 

 

                      1      0     -3    0    2

                       3     9  

       3    __________________
               1       3    6  

 

 

Volvemos a repetir el proceso.

 

 

              1      0     -3    0    2

                          3      9   18

  3    _______________________________
             1      3     6   18

 

 

Volvemos a repetir.

 

 

             1      0     -3    0    2

              

                        3      9    18  54

  3    _______________________________
            1       3    6    18  (56)

 

 

8El último número obtenido, 56 , es el resto.
 

9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.


   ahora tomamos los resultados quedaría C(X)= x³ + 3 x² + 6x +18
Todos los términos con un grado menor que el polinomio principal

 EJEMPLO 2

A = 10 x² - 5 - 3x⁴ + 2x³
B = x + 2 

A/B = (10x² - 5 - 3x⁴ + 2x³) / (x + 2) =


1) Polinomio A ordenado y completo: -3x⁴ + 2x³ + 10x² + 0x - 5

2) El término independiente del polinomio divisor, con el signo "cambiado": -2 

 

Cociente = -3x³ + 8x² - 6x + 12

Resto: -29

 

   A CONTINUACION UN VIDEO EXPLICANDO PASO POR PASO LAS REGLAS RUFFINI: